当前热讯:初三二次函数万能口诀 二次函数的应用

互联网   2023-07-02 21:42:17

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备战2020年中考数学一轮复习——二次函数(压轴题专项),我来为大家科普一下关于初三二次函数万能口诀?以下内容希望对你有帮助!


(资料图片)

初三二次函数万能口诀

备战2020年中考数学一轮复习——二次函数(压轴题专项)

1、【2019遂宁中考】如图,顶点为P(3,3)的二次函数图象与x轴交于点A(6,0),点B在该图象上,OB交其对称轴l于点M,点M、N关于点P对称,连接BN、ON.

(1)求该二次函数的关系式.

(2)若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动,请解答下列问题:

①连接OP,当OP=MN时,请判断△NOB的形状,并求出此时点B的坐标.

②求证:∠BNM=∠ONM.

2、如图,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2),点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长.

3、如图,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上一动点(n<0)以AO为一边作矩形AOBC,点C在第二象限,且OB=2OA.矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE.过点A的直线y=kx+m交y轴于点F,FB=FA.抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H作HM⊥x轴,垂足为M.

(1)求k的值;

(2)点A位置改变时,△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变?说明你的理由.

4、已知抛物线y=x2+(2m-1)x-2m(m>0.5)的最低点的纵坐标为-4.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,D为抛物线上的一点,BD平分四边形ABCD的面积,求点D的坐标;

(3) 如图2,平移抛物线y=x2+(2m-1)x-2m,使其顶点为坐标原点,直线y=-2上有一动点P,

过点P作两条直线,分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行),

求证:直线EF恒过某一定点.

5、如图1,点A是直线y=kx(k>0,且k为常数)上一动点,以A为顶点的抛物线y=(x-h)2+m交直线y=x于另一点E,交y轴于点F,抛物线的对称轴交x轴于点B,交直线EF于点C.(点A,E,F两两不重合)

(1)请写出h与m之间的关系;(用含k的式子表示)

(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2),求线段AC与OF的比值.

图1     图2

6、已知直线y=x-2t与抛物线y=a(x-t)2+k(a>0,t≥0,a、t、k为已知数),在t=2时,直线刚好经过抛物线的顶点.

(1)求k的值;

(2)t由小变大时,两函数值之间大小不断发生改变,特别当t大于正数m时,无论自变量x取何值,y=x-2t的值总小于y=a(x-t)2+k的值,

试求a与m的关系式;

(3)当0≤t<m时,设直线与抛物线的两个交点分别为A、B,在a为定值时,线段AB的长度是否存在最大值,若有,请求出相应的t的取值,若没有,请说明理由.

7、如图,已知矩形ABCO在坐标系的第一象限,它的长AO是宽OC的倍,且有两边在坐标轴上.将△ACO沿对角线AC翻折的△ACP,P点落在经过矩形ABCO四个顶点的⊙E上,⊙E的半径为R.

(1)用R的式子表示点B的坐标;

(2)若抛物线y=ax2+x+c经过P、A两点,请你判断点C是否在此抛物线上;

(3)若(2)中的抛物线的顶点为Q,该抛物线与x轴的另一个交点为M,那么直线OB将△AMQ的面积分为两个部分的比值k是否是一个定值?如果不是,请说明理由;如果是,请求出其比值k.

8、如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+m(m为大于0的常数)与x轴相交于点A,与y轴相交于点C,开口向下的抛物线y=ax2+bx+c经过A,C两点,与x轴相交于另一点B,以AB为直径的⊙M经过点C.

(1)直接写出点A,C的坐标(用含m的式子表示);

(2)求ac的值;

(3)若直线l平行于AC,且与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点P,连接PA,PC,当△PAC的面积等于4时,求⊙M与抛物线y=ax2+bx+c的交点坐标.

9、如图1,抛物线y=ax2﹣9ax﹣36a(a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OC=OA,点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,连接PC.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图2,当动点P只在第一象限的抛物线上运动时,连接PB,试问△PCB的面积是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由.

(3)当点P在抛物线上运动时,将△CPD沿直线CP翻折,点D的对应点为点Q,试问,四边形CDPQ是否能成为菱形?如果能,请直接写出点P的坐标;如果不能,请说明理由.

参考答案

1、【2019遂宁中考】如图,顶点为P(3,3)的二次函数图象与x轴交于点A(6,0),点B在该图象上,OB交其对称轴l于点M,点M、N关于点P对称,连接BN、ON.

(1)求该二次函数的关系式.

(2)若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动,请解答下列问题:

①连接OP,当OP=MN时,请判断△NOB的形状,并求出此时点B的坐标.

②求证:∠BNM=∠ONM.

【解析】(1)∵二次函数顶点为P(3,3)∴设顶点式y=a(x﹣3)2 3∵二次函数图象过点A(6,0)

∴(6﹣3)2a 3=0,解得:a=﹣ ∴二次函数的关系式为y=﹣(x﹣3)2 3=﹣x2 2x

(2)设B(b,﹣b2 2b)(b>3)∴直线OB解析式为:y=(﹣b 2)x

∵OB交对称轴l于点M∴当xM=3时,yM=(﹣b 2)×3=﹣b 6

∴M(3,﹣b 6)∵点M、N关于点P对称∴NP=MP=3﹣(﹣b 6)=b﹣3,∴yN=3 b﹣3=b,即N(3,b)

①∵OP=MN∴OP=MP∴=b﹣3解得:b=3 3

∴﹣b2 2b=﹣×(3 3)2 2×(3 3)=﹣3 ∴B(3 3,﹣3),N(3,3 3)

∴OB2=(3 3)2 (﹣3)2=36 18,ON2=32 (3 3)2=36 18,BN2=(3 3﹣3)2 (﹣3﹣3﹣3)2=72 36∴OB=ON,OB2 ON2=BN2

∴△NOB是等腰直角三角形,此时点B坐标为(3 3,﹣3).

②证明:如图,设直线BN与x轴交于点D ∵B(b,﹣b2 2b)、N(3,b)

设直线BN解析式为y=kx d ∴ 解得:∴直线BN:y=﹣bx 2b

当y=0时,﹣bx 2b=0,解得:x=6∴D(6,0)∵C(3,0),NC⊥x轴

∴NC垂直平分OD ∴ND=NO ∴∠BNM=∠ONM

2、如图,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2),点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长.

【解析】:(1)由直线y=-x+n过点

C(0,4),得n=4,

∴y=-x+4.令y=0时,-x+4=0,解得x=3.∴A(3,0).∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,-2),

∴∴

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.

(2)∵点P的横坐标为m,

∴P,D(m,-2).

若△BDP为等腰三角形,则PD=BD.

①当点P在直线BD上方时,PD=m2-m.

(ⅰ)若点P在y轴左侧,则m< 0,BD=-m.

∴m2-m=-m,∴m1=0(舍去),m2=(舍去).

(ⅱ)若点P在y轴右侧,则m> 0,BD=m.

∴m2-m=m,∴m3=0(舍去),m4=.

②当点P在直线BD下方时,m> 0,BD=m,PD=-m2+m.∴-m2+m=m,∴m5=0(舍去),m6=.

综上所述,当m=或,△BDP为等腰直角三角形,此时PD的长为或.

3、如图,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上一动点(n<0)以AO为一边作矩形AOBC,点C在第二象限,且OB=2OA.矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE.过点A的直线y=kx+m交y轴于点F,FB=FA.抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H作HM⊥x轴,垂足为M.

(1)求k的值;

(2)点A位置改变时,△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变?说明你的理由.

【解析】 (1)根据题意得到:E(3n,0),G(n,-n).当x=0时,y=kx+m=m,∴点F坐标为(0,m).

∵Rt△AOF中,AF2=m2+n2,

∵FB=AF,

∴m2+n2=(-2n-m)2,

化简,得m=-0.75n,

对于y=kx+m,当x=n时,y=0,

∴0=kn-0.75n,

∴k=0.75

(2)∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G,

解得a=,b=-,c=-0.75n.

∴抛物线为y=x2-x-0.75n.

解方程组:

得:x1=5n,y1=3n;x2=0,y2=-0.75n.

∴H坐标(5n,3n),HM=-3n,AM=n-5n=-4n,

∴△AMH的面积=0.5×HM×AM=6n2.

而矩形AOBC的面积=2n2,

∴△AMH的面积∶矩形AOBC的面积=3∶1,不随着点A的位置的改变而改变.

4、已知抛物线y=x2+(2m-1)x-2m(m>0.5)的最低点的纵坐标为-4.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,D为抛物线上的一点,BD平分四边形ABCD的面积,求点D的坐标;

(3) 如图2,平移抛物线y=x2+(2m-1)x-2m,使其顶点为坐标原点,直线y=-2上有一动点P,

过点P作两条直线,分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行),

求证:直线EF恒过某一定点.

【解析】(1) y=x2+(2m-1)x-2m=(x+m-0.5)2-m2-m-0.25,∵最低点的纵坐标为-4,

∴-m2-m-0.25=-4,即4m2+4m-15=0,∴m=1.5或-2.5. ∵m>0.5,∴m=1.5.

∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.

(2) ∵y=x2+2x-3,∴A(-3,0),B(1,0),C(0,-3). 连AC交BD于E,

过A作AM⊥BD于M,过C作CN⊥BD于N,

由△ABD与△CBD面积相等,得AM=CN.

于是易得△AEM≌△CEN(AAS),∴AE=CE,∴E(-1.5,-1.5).

又B(1,0),∴直线BE的解析式为y=0.6x-0.6.

由,解得D(-,-).

(3) 设E(t,t2),F(n,n2),设直线PE为y=k1(x-t)+t2,

由,得 x2-k1x+k1t-t2=0,△=k12-4(k1t-t2)=(k1-2t)2=0,∴k1=2t.

∴直线PE为y=2t(x-t)+t2,即y=2tx-t2. 令y=-2,得xP=.

同理,设直线PF为y=k2(x-n)+n2,xP=,得:=,

∵t≠n,∴tn=-2.

设直线EF的解析式为y=kx+b,由,得x2-kx-b=0,

∴xE·xF=-b,即tn=-b,∴b=2. ∴直线EF为y=kx+2,过定点(0,2).

5、如图1,点A是直线y=kx(k>0,且k为常数)上一动点,以A为顶点的抛物线y=(x-h)2+m交直线y=x于另一点E,交y轴于点F,抛物线的对称轴交x轴于点B,交直线EF于点C.(点A,E,F两两不重合)

(1)请写出h与m之间的关系;(用含k的式子表示)

(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2),求线段AC与OF的比值.

图1    图2

【解析】 (1)∵抛物线顶点(h,m)在直线y=kx上,∴m=kh;

(2)解方程组

将②代入①得到:(x-h)2+kh=kx,

整理得:(x-h)[(x-h)-k]=0,

解得:x1=h,x2=k+h.

代入到方程②得y1=kh,y2=k2+hk.

所以点E坐标是(k+h,k2+hk)

当x=0时,y=(x-h)2+m=h2+kh,

∴点F坐标是(0,h2+kh)

当EF和x轴平行时,点E,F的纵坐标相等,

即k2+kh=h2+kh

解得:h=k(h=-k舍去,否则E,F,O重合)

此时点E(2k,2k2),F(0,2k2),C(k,2k2),A(k,k2)

∴AC∶OF=k2∶2k2=1∶2

6、已知直线y=x-2t与抛物线y=a(x-t)2+k(a>0,t≥0,a、t、k为已知数),在t=2时,直线刚好经过抛物线的顶点.

(1)求k的值;

(2)t由小变大时,两函数值之间大小不断发生改变,特别当t大于正数m时,无论自变量x取何值,y=x-2t的值总小于y=a(x-t)2+k的值,

试求a与m的关系式;

(3)当0≤t<m时,设直线与抛物线的两个交点分别为A、B,在a为定值时,线段AB的长度是否存在最大值,若有,请求出相应的t的取值,若没有,请说明理由.

【解析】 (1)由题意,t=2时,直线刚好经过抛物线的顶点.

而此时直线解析式为y=x-4,

对称轴坐标为直线x=2.

易得k=-2.

(2)当t>m时,无论自变量x取何值,一次函数的值总小于二次函数的值,

说明当t=m时,直线与抛物线有且只有一个公共点.

可设此时直线与抛物线解析式分别为y=x-2m和y=a(x-m)2-2,联立消去y,得:

ax2-(2am+1)x+am2-2+2m=0,

由Δ=0得:8a+1-4am=0.

(3)设A(x1,y1),B(x1,y1),坐标系内构造直角三角形后易知,

AB=

联立直线与抛物线解析式消去y,得:ax2-(2at+1)x+at2-2+2t=0.

由求根公式可知:

==,

AB==.

由于a为定值且a>0,所以-4a<0,由于1,8a,、均为正,

从而t=0时,AB=最大.

7、如图,已知矩形ABCO在坐标系的第一象限,它的长AO是宽OC的倍,且有两边在坐标轴上.将△ACO沿对角线AC翻折的△ACP,P点落在经过矩形ABCO四个顶点的⊙E上,⊙E的半径为R.

(1)用R的式子表示点B的坐标;

(2)若抛物线y=ax2+x+c经过P、A两点,请你判断点C是否在此抛物线上;

(3)若(2)中的抛物线的顶点为Q,该抛物线与x轴的另一个交点为M,那么直线OB将△AMQ的面积分为两个部分的比值k是否是一个定值?如果不是,请说明理由;如果是,请求出其比值k.

【解析】 (1)点B坐标为(R,R).

(2)易求点P坐标为,点A坐标为(R,0),则:

解得

∴抛物线的解析式为:y=- x2+x+R.

由于点C坐标为(0,R),因其正好为抛物线与y轴的交点,故点C在抛物线上.

(3)如图,由顶点坐标公式易求得Q点坐标为,令y=0,可解得M点的坐标为,从而S△AMQ==.

又易求OB解析式为y=x.

设AQ解析式为y=kx+b,则:

解得

∴设AQ解析式为y=-x+

联立AQ与OB的解析式解得交点N的坐标为.

从而易求S△AON=·R·=.

∴=÷=.

直线OB将△AMQ的面积分为两个部分的比值k是一个定值,且k=或者.

8、如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+m(m为大于0的常数)与x轴相交于点A,与y轴相交于点C,开口向下的抛物线y=ax2+bx+c经过A,C两点,与x轴相交于另一点B,以AB为直径的⊙M经过点C.

(1)直接写出点A,C的坐标(用含m的式子表示);

(2)求ac的值;

(3)若直线l平行于AC,且与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点P,连接PA,PC,当△PAC的面积等于4时,求⊙M与抛物线y=ax2+bx+c的交点坐标.

【解析】 (1)点A(2m,0),C(0,m);

(2)∵以AB为直径的⊙M经过点C,

∴∠ACB=90°.

可证得,△BOC∽△COA,∴OB∶OC=OC∶OA.

∵OA=2m,OC=m,∴OB===m.

∴点B(-m,0).

将点A(2m,0),B(-m,0),C(0,m)的坐标分别代入y=ax2+bx+c,

解得a=-,b=,c=m.

∴抛物线的解析式为:y=-x2+x+m,ac=(-)×m=-1.

(3)过点P作PH⊥x轴交AC于点E,交x轴于点H,过点C作CF⊥PH,垂足为F.

∵直线l平行于AC,设l的解析式为:

y=-x+n.

代入抛物线的解析式并整理,得-x2+2x+m-n=0.

∵l与抛物线y=-x2+x+m有且只有一个公共点P,

∴Δ=22-4(-)(m-n)=0.解得n=2m.

∴l的解析式为:y=-x+2m.

S△PAC=S△PCE+S△PAE=PE×CF+PE×AH=PE×AO.

∵AO=2m,PE=2m-m=m.

∴S△PAC=PE×AO=m×2m=4.

解得m=±2.∵m>0,∴m=2.

∴抛物线的解析式为:y=-x2+x+2.

∵⊙M与抛物线的一个交点C(0,2)的纵坐标为2,令-x2+x+2=2.

解得x=0或x=3.

∴⊙M与抛物线y=ax2+bx+c的交点坐标为:A(4,0),B(-1,0),C(0,2)和C1(3,2).

本文就为大家讲解到这里,希望对大家有所帮助。

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